Leyes de Isaac Newton del movimiento cambiaron la percepción humana del universo, de uno en el que una insondable esfera celestial gobernó sobre el mundo terrenal a un lugar regido por las mismas leyes universales en todo el mundo. Como se describe, por ejemplo, en ensayo de George Smith "De Newton Philosophiae Naturalis Principia Mathematica", las leyes de Newton generalmente recogido y codificaron a principios que ya eran conocidas, pero fueron ideas basadas en la observación y la lógica y no se "deriva" en el sentido habitual de la palabra. Sin embargo, siguiendo ejemplos como el dado por Tom Kirchner en sus notas de clase de mecánica clásica de la Universidad de York, es posible derivar las ecuaciones de Newton de movimiento principio de Hamilton de mínima acción.
Instrucciones
Establecer el marco para la derivación
• Construir el Lagrangiano. La integral del Lagrangiano en el tiempo es la "acción", que debe ser reducido al mínimo, de conformidad con el principio de Hamilton.
El Lagrangiano se define como la energía cinética menos la energía potencial, generalmente expresada como L = T - U.
• Calcular la ecuación que satisface la condición de minimización.
La derivación de la condición de minimización puede encontrarse, entre muchos otros lugares, en las notas de profesor Frank Wolfs para clase de mecánica clásica de la Universidad de Rochester. La condición de minimización es d/dt(∂L/∂xdot) - ∂L/∂x = 0, donde xdot es el derivado del tiempo de la función x (t), también llamado la velocidad.
• Construir las ecuaciones de movimiento para las condiciones específicas.
Ecuación de movimiento con ninguna fuerza externa--primera ley de Newton
•
Calcular la energía cinética y potencial de un punto de masa.
En una dimensión, la energía cinética está dada por T = (1/2) m (xdot) ^ 2 y no hay fuerzas externas, la energía potencial, U, es cero.
• Construir el Lagrangiano.
Para ello, T - U = (1/2) m (xdot) ^ 2-0 = (1/2) m (xdot) ^ 2
• Calcular los términos de la condición de minimización.
d/DT(∂L/∂xdot) = d/dt(∂((1/2)m(xdot)^2)/∂xdot)) = m * xdoubledot, donde xdoubledot es el segundo derivado de x (t) con respecto al tiempo, más comúnmente llamado la aceleración y/∂x ∂L = 0, ya que no hay ningún término que depende de x.
• La construcción de la condición de minimización.
d/DT(∂L/∂xdot) - / ∂x ∂L = m * xdoubledot = 0
• Integrar la ecuación con respecto al tiempo.
Terminamos con la ecuación x (t) = v0 * t + x 0, lo que dice la posición del punto de masa es la posición donde se inició además la tasa a la que se está moviendo el tiempo cuánto tiempo ha estado moviendo. Esto es lo mismo que la primera ley de Newton, diciendo que si no hay ninguna fuerza, un cuerpo en reposo permanece en reposo y un cuerpo en movimiento mantiene ese mismo movimiento.
Ecuación de movimiento con una fuerza conservadora externa--segunda ley de Newton
• Calcular la energía cinética y potencial de un punto de masa.
En una dimensión, la energía cinética está dada por T = (1/2) m (xdot) ^ 2, mientras que la energía potencial es U(x), que representa una fuerza que puede transferir energía al punto de masa.
• Construir el Lagrangiano.
Para ello, T - U = (1/2) m (xdot) ^ 2 - U(x).
• Calcular los términos de la condición de minimización.
d/DT(∂L/∂xdot) = d/dt(∂((1/2)m(xdot)^2)/∂xdot)) = m * xdoubledot y/∂x ∂L = - ∂U/∂x. Una fuerza conservadora, una fuerza que no es la fricción, está dada por la expresión F = - ∂U/∂x, tan ∂L/∂x = f el.
• La construcción de la condición de minimización.
d/DT(∂L/∂xdot) - / ∂x ∂L = m * xdoubledot -F = 0.
• Reorganizar la ecuación.
F = m * xdoubledot, o sustituir la letra a, para la aceleración, para xdoubledot, F = ma, que es la formulación habitual de la segunda ley de Newton.
Consejos y advertencias
- Tercera ley de Newton, que indica para cada acción hay es igual y frente a reacción, tiene una representación matemática, pero no se traduce directamente a cualquier ecuación de movimiento que puede ser derivado.