Cómo probar la fórmula para el volumen de cuboides

Cómo probar la fórmula para el volumen de cuboides

En matemáticas, el término "cuboide" tiene algunas definiciones diferentes. Generalmente, el término se refiere a un sólido con seis caras planas, ocho vértices y 12 aristas. Una pirámide cuadrada con su ápice cortado es un ejemplo. El término "cuboides" a menudo se refiere a una clase más de sólidos, sin embargo, con todo frente a caras URL--llamado "paralelepípedo". Si todas las caras adyacentes satisfacen en ángulo recto, la figura es un "cuboides derecho." Debido a la variedad de formas, no hay fórmula única cubre todos cuboides; sin embargo, se puede resolver para el volumen de formas cuboides específicas usando cálculo, vector o argumentos de funciones trigonométricas.

Instrucciones

Enfoque de vectores: paralelepípedo

• Denotar tres lados adyacentes reunidos en una de las esquinas del paralelepípedo como los tres vectores \"a\", \"b\"y \"c\". Denotar sus longitudes \"A\", \"B\"y \"C\". Denota el ángulo entre \"a\" y \"b\" como \ "? \" (alfa), el ángulo entre \"b\" y \"c\" como \ "? \" (beta) y el ángulo entre \"c\" y \"a\" como \ "? \" (gamma).

• Orientar el paralelepípedo (si está sólo en tu mente) así que la cara delimitada por \"a\" y \"b\" en la parte inferior. Usando aritmética de vectores estándar, lleve el producto Cruz de \"a\"y \"b\". El producto resultante de la Cruz es el vector perpendicular a la cara que vectores el \"a\" y \"b\" frontera. La longitud del vector resultante es igual a la zona de la cara inferior. La razón es porque la magnitud del producto Cruz es igual a pecado \"AB? \", en la definición del producto Cruz. Puesto que la forma del paralelepípedo es que el mismo desde la parte inferior frente todo el camino a la parte superior, sólo han dejado para multiplicar la altura por el área de la cara inferior.

• Determinar la altura del paralelepípedo y multiplicarla por el área de la base. El resultado es el volumen del paralelepípedo. En otras palabras, la fórmula para el volumen de un paralelepípedo es el área base veces la altura. Esto es lo mismo que tomando el producto escalar de \"c\" y el producto cruzado de \"a\"y \"b\". Esto es cierto porque el producto de punto es, por definición, la longitud de la \"c\" veces la longitud del producto Cruz de \"a\" y \"b\" veces el coseno de \ "? \". Aquí, \ "? \" es el ángulo entre \"c\" y el vector perpendicular a la cara inferior. En otras palabras, \"c cos? \" es la altura del paralelepípedo. Por lo que el volumen es \"c(axb) \", si \ "\" está parado para el producto de punto. Si usted no sabe la altura, pero ¿sabe longitudes \"A\", \"B\"y \"C\" y el ángulo \ "? \", \ "? \" y \ "? \", proceder a la siguiente sección.

Método trigonométrico: paralelepípedo

• Resolver para el ángulo desconocido \ "? \" cuando no tienes los lados delimitadores en forma vectorial primera Recordando la identidad trigonometric cx(axb) = a(cb)-b(ca).

• Escribir la magnitud de la parte izquierda de la ecuación como (ABsin?) C pecado?. Ahora un lado de la ecuación puede escribirse en términos de \ "? \". Por lo que finalmente puede resolver para \"cos? \".

• Tomar el producto escalar de los vectores a(cb)-b(ca) con sí mismo. Esto viene ser (aCB cos?-bCA cos?) (aCB cos?-bCA cos?), o (ABC) ^ 2 [cos(2)? - 2 cos? cos? cos? + cos(2)?] (Recordar que unaa = A ^ 2 y a * b = AB cos?.) ¿Aquí, cos(2)? medios (cos?) ^ 2. Este resultado es igual al cuadrado de la magnitud de la parte derecha de la ecuación en el paso 1.

• Cuadrado el resultado del paso 2 para compararse con el paso 3. Eliminar el (ABC) ^ 2 primero para mayor comodidad. ¿Por lo tanto, sin(2)? ¿sin(2)? ¿= cos(2)? ¿-2 cos? ¿cos? ¿cos? + cos(2)?.

• ¿Escribir \"sin? \" en términos \"cos? \", desde el pecado de ABC? ¿cos? es el volumen que desea resolver. ¿Así, sin(2)? ¿[1-cos(2)]? ¿= cos(2)? ¿-2 cos? ¿cos? ¿cos? + cos(2)?.

• ¿Resolver para \"sin? cos? \ "como sigue:¿sin(2)? ¿cos(2)? ¿= sin(2)? ¿-cos(2)? ¿+ 2 cos? ¿cos? ¿cos? ¿-cos(2)? ¿= 1 - cos(2)? ¿-cos(2)? ¿+ 2 cos? ¿cos? ¿cos? -cos(2)?.Por lo tanto, la fórmula final para el volumen de un paralelepípedo es:¿ABC? [1 - cos(2)? - cos(2)? - cos(2)? + 2 cos? cos? cos?].

Método de cálculo: Pirámide cuadrada truncado

• Determinar si el cálculo sería un acercamiento útil al decidir si la figura se puede cortar en finas obleas, cada uno con la misma forma. Por ejemplo, una pirámide cuadrada con la punta superior cortada, dejando una superficie paralela a la cara inferior, es una pila de finos cuadrados. La forma es constante, aunque el tamaño varía.

• Indicar el ancho de la base de la truncada pirámide \"B\" y anchura de \"T\". Denotan la altura \"H\". Entonces la integral de volumen de la figura es? x ^ 2 dy, donde \"x\" es el ancho variable de las plazas, \"dy\" es la altura diferencial de las plazas y la relación entre las dos variables es y = H - H (x-T)/(B-T). Se puede ver porque los lados de una pirámide son lineales, por lo que se aplica una ecuación lineal. Además, cuando \"x\" \"B\", \"y\"debe ser \"0\". Cuando \"x\"es \"T\", \"y\"debe ser \"H\".

• Escriba la integral? x ^ 2 dy en función de una variable:DY es igual a - dx H/(B-T).La negativa vendrá hacia fuera en el lavado a integrando desde x = B a x = T, que es más pequeño.

• Tomar el integral. Hay que recordar que los integrales son productos de integrando veces la anchura del diferencial. Tomando la integral de un polinomio como x ^ 2 es una simple cuestión de agregar 1 al exponente y luego dividiendo el nuevo exponente. A continuación, conecte los dos extremos, \"B\"y \"T\" y la diferencia entre los dos. En otras palabras, el resultado es [-H/(B-T)] [(T) ^ 3/3 - (B) ^ 3/3], o H/(B-T) [(B) ^ 3/3 - (T) ^ 3/3].

Consejos y advertencias

  • Según el físico Jagdish Mehra, Nobelist Richard Feynman descubrió la fórmula general en la segunda sección por encima con la ayuda de un amigo en tres semanas mientras estudiaba trigonometría en la escuela secundaria. Su profesor de trigonometría ofreció el problema a la clase como un reto que ninguno de sus estudiantes anteriores había resuelto.

© 2021 Usroasterie.com | Contact us: webmaster# usroasterie.com