Cómo utilizar un Integral de línea para encontrar la masa del alambre

Un problema común a estudiantes de cálculo de su comprensión de la integral de línea de prueba es determinar la masa total de un cable varía según la densidad. Por supuesto, si la densidad es constante a través de toda la longitud del cable, el problema es trivial: sólo una cuestión de multiplicar la longitud total de la densidad constante. Una línea integral, en relación con un alambre de densidad variable, trata toda la longitud del alambre en pequeños trozos, suma de la masa de estas pequeñas piezas.

Instrucciones

• Crear una integral de línea, usando un "muy pequeño" o diferencial longitud? s o ds veces la función, que la densidad del cable en diferentes posiciones f.

Por ejemplo, supongamos que la función de densidad es f (x, y) = 4xy. El integrando, que se integrará será 4xy ds.

• Escribir ds en términos de un parámetro t que relaciona x y y. Supongamos que se le da el vector r (t) = x (t) i + y (t) j, donde estan, i y j son vectores, rastros hacia fuera de la curva del alambre. (i y j son los vectores de la unidad en las direcciones x y y). ¿Tenga en cuenta que es una longitud diferencial en el plano x-y? (dx ^ 2 + dy ^ 2). ¿Esto puede ser reescrito para tomar los diferenciales por debajo del signo radical como sigue: dt? [(DX/DT) ^ 2 + (dy/dt) ^ 2].

• Escribir el integrando en términos de parámetro t.

Por ejemplo, supongamos que el alambre es descrito por r (t) = x (t) i + j y (t), donde x (t) = t y y (t) = t ^ 2-1, para t = 1 a 3. ¿Continuando con nuestro ejemplo anterior, f = 8 (y + 1) / x = 8t, ds se convierte en dt? ¿[(DX/DT) ^ 2 + (dy/dt) ^ 2] = dt? ¿[(1) ^ 2 + (2t) ^ 2] = dt? [4t ^ 2 - 1]. ¿Es el completo integrando? [4t ^ 2 - 1] × [8t] despegue.

• Integrar a lo largo del alambre con respecto al parámetro t.

Por ejemplo, la línea de nuestro ejemplo es de t = 1 a 3. Por lo que la masa del alambre es?? [4t ^ 2 - 1] × [8t] dt, que se resuelve fácilmente con el conocimiento de la regla de la cadena para obtener la diferencia de (2/3) [4t ^ 2-1] ^ 1.5 evaluadas en 3 y 1, o (2/3)[35^1.5-3^1.5] = 134.58. Esto es la masa del alambre en nuestro ejemplo.


© 2020 Usroasterie.com | Contact us: webmaster# usroasterie.com