Fórmula matemática para el volumen

La fórmula básica para el volumen es ancho x alto x profundidad. Esta fórmula puede utilizarse sin modificar para bloques con caras planas.

Sin embargo, de formas irregulares, otros enfoques deben encontrarse, por ejemplo por el volumen de llenado con estos bloques y sumando los volúmenes de los bloques. Aumentar la precisión mediante el uso de un número cada vez mayor de bloques más pequeños es la base de cálculo el volumen de cálculo, es decir, por la integración. Este enfoque es particularmente útil para una forma delimitada por una función conocida.

Integración

Una doble integración de [f - g] sobre algunos especificaron área da el volumen del espacio entre las funciones. [f (x) - g (x)], que sirve como la altura de los bloques, se multiplica por lo diferenciales dx dy, cuyo producto sirve como la anchura y la profundidad del bloque. La suma es efectivamente de bloques de altura finita con infinitesimal transversal horizontal.

Un ejemplo: calcular el volumen entre f = xy, g = x + y en la Plaza de la unidad en el cuadrante superior derecho conlleva problemas?? (xy) (x + y) dx dy, donde la integración es de 0 a 1 para las dos variables.

Métodos euclidianos

El método de determinación de fórmulas de área y volumen en \"Elements\ de Euclides" puede ser descrito como similar a la integración, en el sentido de que las formas geométricas de incremento y disminución de volumen individual rellenar la forma. Por ejemplo, para encontrar el área de un círculo, la zona está llena de triángulos con vértices en el centro del círculo y dos puntos de contacto con el círculo. Se calcula el volumen de los triángulos, entonces el círculo se llena con triángulos más estrechos y así sucesivamente. Esto establece un límite inferior para el área del círculo. Luego triángulos que se extienden fuera del círculo para que la base, no los puntos, toque el círculo, se utilizan para establecer un límite superior. De esta manera, pi podría ser estimado por los antiguos.

Volumen del paralelepípedo formado por tres vectores de

El producto triple escalar, | ¿(a × b)? c|, da el volumen de un paralelepípedo. ¿Por lo tanto, a, b, y c son vectores y × y? son el producto cruzado y producto de punto, respectivamente.

|a × b| = |a|| ¿b|cos?¿donde? es el ángulo entre los vectores a y b.

Por lo tanto un × b encuentra el equivalente rectangular de la superficie de base. (? no necesita ser conocido desde el producto cruzado se puede encontrar por la multiplicación de componente por componente.)

Si P es el pseudovector a × b, entonces el producto escalar P? c encuentra el valor | P|| c| pecado?, es decir, efectivamente, encontrar la altura del vector c con respecto al plano formado por a y b. (otra vez, el ángulo necesario no conocido ya que el producto cruzado se puede encontrar componente por componente multiplicación.)


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