Fórmula para el cálculo de volumen

Cálculo se puede utilizar para una gran variedad de fórmulas para el volumen y área, pero los antiguos griegos conocían fórmulas para el volumen sin utilizar en absoluto. Encontraron fórmulas para el volumen de la esfera, cono, pirámide e incluso para los objetos con más de cuatro lados.

Pirámide cuadrada

Imagine una pirámide cuadrada, con una base de área a × a, de reducción de área hasta un punto en la parte superior. Hay números capas de altura h/n. Para que la altura permanece constante total de h se puede construir una pirámide de un número creciente de capas cada vez más finas.

El volumen de una pila de cuadrados es (de mayor a menor) la suma del área veces altura de cada nivel: a×a×(h/n) + [(n-1)a/n]×[(n-1)a/n]×(h/n) + [(n-2)a/n]×[(n-2)a/n]×(h/n) +... + [a/n]×[a/n]×(h/n) = a × a × h × 1/n × [1 + (n-1) ^ 2/n ^ 2 + (n-2) ^ 2/n ^ 2 +... + (1/n)(1/n)]

Tenga en cuenta que esto puede ser escrito como a × a × h × 1/n ^ 3 × [? i ^ 2], donde la suma es igual a n(n+1)(2n+1)/6, que se puede probar por inducción matemática. Si los niveles más delgados y más fino, entonces n va al infinito. El término principal de eñes es (2n^3)/(6n^3), que va a 1/3 como n crece.

Así que el volumen de la pirámide es a × a × h/3.

Inducción matemática

Que la suma de cuadrados de 1 ^ 2 + 2 ^ 2 +... + n ^ 2 es igual a n(n+1)(2n+1)/6 se puede probar por inducción matemática, es decir, demostrar que la fórmula sostiene para n = 1. A continuación mostramos si sostiene para n, entonces tiene para n + 1. Por lo tanto sostiene para todos n enteros positivos.

Para n = 1, que sostiene la igualdad es trivial.

Ahora Supongamos que tiene para n. Entonces 1 ^ 2 + 2 ^ 2 +... + n ^ 2 + (n + 1) ^ 2 es igual an(n+1)(2n+1)/6 + (n + 1). El objetivo es reorganizar esto en el formulario (n+1)((n+1)+1) (2 (n + 1) + 1) / 6. Que mostrarán eso si la suma de cuadrados de n ^ 2 es igual a, n(n+1)(2n+1)/6, entonces tiene la misma igualdad de n + 1.

n(n+1)(2n+1)/6 + (n + 1) = (2n ^ 3 + 2n ^ 2 + n ^ 2 + n) / 6 + n ^ 2 + 2n + 1 = [(2n^3+3n^2+n)+(6n^2+12n+6)] / 6 = (2n ^ 3 + 6n ^ 2 + 4n + 3n ^ 2 + 9n + 6) / 6 = (n ^ 2 + 3n + 2)(2n+3)/6 = (n+1)(n+2) (2 (n + 1) + 1) / 6que debía ser probado.

Una generalización

Tenga en cuenta que el volumen de una pirámide cuadrada es 1/3 el volumen de un bloque de altura h con una base cuadrada. La forma de la base no afecta al resultado de esta. Por lo tanto es un resultado generalizable.

Puede ser demostrado que una figura con la misma forma para cada nivel, convergiendo a un punto en la parte superior, es 1/3 el volumen de una figura del mismo tamaño de forma altura y constante en todas las alturas.

Por lo tanto, tenga en cuenta que la fórmula de un bloque triangular de lados a y altura h es ha ^ 2sqrt 3/4. Una pirámide triangular de lados a y altura h es, por tanto, ha ^ 2sqrt 3/12.

Además, el volumen de un cilindro es pi x radio ^ 2 x altura. El volumen de un cono es, por tanto, pi x radio ^ 2 x altura/3.


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