Propiedades de exponentes racionales

Además de las propiedades que tienen exponentes enteros, hay dos propiedades adicionales que tienen exponentes racionales. Uno es que la relación puede ser dividida en dos productos, separar el numerador del denominador. Esto es útil para una calculadora debido a los métodos particulares que se utiliza para calcular a tales exponentes. Estos métodos permiten el cálculo de exponentes irracionales así. La otra operación de interés es la inversa de la operación anterior; en otras palabras, ser capaz de combinar a dos exponentes en un solo producto. Estas dos operaciones están ya implícitas en las propiedades de exponentes racionales, pero vale la pena explicar.

Propiedades de exponentes enteros

Propiedades de exponentes racionales

Antes de abordar las propiedades de los enteros racionales, es instructivo ver lo que tienen exponentes enteros de propiedades. Estas propiedades todas derivan de la característica del commutativity multiplicative. En otras palabras, de a---b = b---una.Por ejemplo, (5 ^ 3) ^ 2 es 5 multiplicado por sí mismo dos veces (total tres factores), entonces todo esto multiplicado por sí mismo una vez (dos factores). Así que 5 es multiplicado por sí mismo cinco veces, es decir, seis factores de 5 en total. Que (A ^ B) ^ C = A^(B---C) es la propiedad lo extrapolamos a exponentes racionales en general.

Significado de las raíces

Pero ¿qué es una raíz? Ha claro que A ^ B significa multiplicar A por sí mismo B-1 veces (productos de B). Pero ¿qué significa A^(1/B)? ¿Qué significa decir "la raíz de Bth del"? Es el número que al multiplicar por sí mismo veces B-1, será igual a A.Por ejemplo, 8^(1/3) es el número que, multiplicado por sí mismo dos veces, es 8; 2 es un número, porque 2---2---2 = 8.

Commutativity en el caso de exponentes racionales

Propiedades de exponentes racionales

Tenga en cuenta que desde la operación subyacente es la multiplicación de la base, luego commutativity multiplicative todavía mantiene. Por lo tanto, (A ^ B) ^ C todavía es igual a (A ^ C) ^ B.Por ejemplo, (8^2)^(1/3) = (2---2---2---2---2---2)^(1/3) = 2---2 = 2 ^ 2 = (8^(1/3)) ^ 2.En otras palabras, (8^2)^(1/3) = (8^(1/3)) ^ 2.La propiedad que (A ^ B) ^ C = A^(B---C) de manera similar se demuestra. Esta propiedad permite dividir un exponente racional en un numerador y un denominador: 8^(2/3) = (8^2)^(1/3).

Uso de las propiedades

El ejemplo anterior era bonito y limpio, pero ¿qué pasa si la raíz no es tan limpia? ¿¿Una calculadora trata con 5^(3/4), por ejemplo? Esto nos lleva a un campo llamado análisis numérico, donde soluciones no "limpia" pero en cambio se encuentran por aumento de la aproximación. Aquí, "el aumento" significa que con cada cálculo adicional, el resultado calculado es más cercano a la respuesta real.Un ejemplo es convertir a 5^(3/4) en una ecuación. Que x = 5^(3/4). Entonces x ^ 4 = 5 ^ 3. Así que x ^ 4-125 = 0. La calculadora utiliza un algoritmo, como el método de la bisección, método de Newton para resolver para "x". Después de varios cálculos del mismo algoritmo, la solución será limitar por encima y por debajo de tan fuertemente que la diferencia no aparece en el número de cifras significativas en la pantalla de la calculadora.

Exponentes irracionales

¿El planteamiento anterior permite calcular números con exponentes irracionales? Sí, pero el exponente sí mismo tendría que aproximarse así. Números irracionales, si escritas en forma decimal, se extienden infinitamente sin repetición. Así que mientras que un número racional como 1/3 (0.3333...) puede ser representado con una barra sobre los ultimos 3 para mostrar que repita indefinidamente, no es ningún tal repetición de números irracionales. Incluso cuando la calculadora usa el número irracional pi, está utilizando una aproximación, truncar un número infinito de dígitos después de un punto de corte determinado (por ejemplo, 10 dígitos).¿Cómo se tratan los exponentes irracionales? Antes de poder utilizar el método de aproximación usado en el último ejemplo de resolver para el valor total, se utiliza una aproximación del exponente irracional. Se utiliza una aproximación racional de exponente irracional, como sus primeros 10 dígitos.


© 2022 Usroasterie.com | Contact us: webmaster# usroasterie.com