Uso de tensores

Uso de tensores

Tensor, una entidad matemática, facilita tratar con ecuaciones complejas. Un tensor puede representar un escalar, un vector o una matriz, dependiendo del número de subíndices o índices que tiene. Por ejemplo, un tensor de orden segundo tiene dos índices y representa una matriz de 3 X 3. Los índices toman valores enteros de uno a tres en un espacio tridimensional.

Material derivado

Uso de tensores

Uno de los mejores ejemplos de uso del tensor es la derivada material o sustancial. Este derivado calcula la tasa de cambio de alguna propiedad dentro de un campo de velocidad. En el gráfico, N (x, y, z, t) es un tensor de orden primero en tres dimensiones y puede ser una función escalar o vectorial. El campo de velocidad V (x, y, z, t) = u+ vj + w * k, es un distinto primer orden tensor ya que cuenta con tres componentes direccionales (u, v y w). El gráfico muestra los resultados. Nota que el componente de tiempo se separa el componente de la posición.

Estrés

Uso de tensores

Otro uso del tensor en la ingeniería proviene de la derivación de las ecuaciones de tensión. El estrés es una medida de fuerzas internas en un cuerpo que resultan de la aplicación de una fuerza externa. Tensión normal actúa a lo largo de un eje dado, mientras que el esfuerzo cortante actúa perpendicular a ese eje. Aplaudiendo sus manos crea tensión normal, mientras que frotarlos juntos crea tensión de esquileo. Cuando el análisis de cuentas para todas las tensiones, el resultado es el tensor Cauchy. Omega es la tensión normal y actúa en el eje por el subíndice. Tensión de esquileo se denota por tau y actúa sobre los planos normales a los ejes.

Cepa

Uso de tensores

Tensión es una medida de la deformación causada por el estrés. Existen muchos métodos de análisis y muchas asunciones de simplificaión pueden aplicarse a cada método. Un ingeniero puede derivar el tensor infinitesimal de deformación, o el tensor tensión de Cauchy, un análisis geométrico de un elemento infinitesimal del cuerpo que se estudia. El tensor resultante de este análisis se muestra en el gráfico.

Tensor de alterna

Uso de tensores

El tensor de manera alterna como se muestra en el gráfico, tiene propiedades especiales que son útiles para un ingeniero. Una aplicación del tensor alterna es a convertir un vector o tensor de primer orden, un tensor de orden segundo y detrás otra vez. La resultante segunda orden tensor es anti simétrico y tiene propiedades útiles para el ingeniero, de los cuales uno es el teorema que cualquier tensor puede ser expresado como la suma de un simétrico y una matriz antisimétrica.

Delta de Kronecker

Otro tensor especial es la delta de Kronecker, definido en el gráfico. Este tensor es útil para convertir un valor escalar de un tensor de orden segundo. Matemáticamente, tensores de distinto orden no se pueden agregar junto, pero en una ecuación como la que gobierna el movimiento fluido por simple traducción, se convierte en una necesidad. Esta aplicación se muestra en la derivación en el gráfico.


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